La matematica? Materia da giovanissimi geni

di Mimmo Arezzo

Una delle caratteristiche della matematica è che essa conduce rapidamente alla frontiera fra ciò che si conosce e ciò che non si conosce. Faccio solo un paio di esempi.

1. L’addizione fra due numeri è cosa facile se i due numeri addendi sono numeri “facili” (naturali,  decimali limitati), diventa più laboriosa se gli addendi sono numeri decimali periodici; diventa impossibile, costringendoci ad operare delle approssimazioni, se i numeri sono decimali illimitati e senza periodo. Perciò, se vogliamo indicare il valore di
                                                                     π + √2
   non possiamo fare altro che lasciare indicata la somma e utilizzarne, se necessario, delle approssimazioni.
2. Tutti sappiamo calcolare l’area di un triangolo, se conosciamo le lunghezze di una sua base e dell’altezza relativa a quella base. Ma se uno dei lati non è un segmento, ma è anche leggermente incurvato non abbiamo proprio idea di come si possa operare.

Questo fatto mette le menti in erba di fronte a continue sfide intellettuali e questo ha fatto sì che, nella storia, siano stati veramente tanti i matematici che hanno fatto grandi scoperte quando erano proprio giovanissimi.

Uno dei più famosi di essi è il tedesco Carlo Federico Gauss, di cui si raccontano tanti episodi deliziosi il più precoce dei quali riguarda la sua infanzia. Aveva solo 8 anni, si narra, quando un maestro pigro, forse desideroso di leggere in pace il giornale, dette alla classe il compito di addizionare tutti i primi cento numeri naturali: 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100. Poco dopo, Gauss consegnò la sua lavagnetta con il risultato esatto: 5050.
Il maestro gli chiese come avesse fatto e Gauss rispose: “la somma del primo e dell’ultimo fa 101, la somma del secondo e del penultimo fa 101, e così via 50 volte; quindi il risultato è 50 x 101 = 5050”.

Pare che il maestro si sia reso conto di avere davanti un talento speciale e lo abbia particolarmente assistito nei suoi studi iniziali. Ma c’è un altro successo incredibile, assai più difficile, del piccolo Gauss, anche se di qualche anno successivo. Era noto fin dall’antichità che i numeri primi sono infiniti, e la dimostrazione di Euclide è considerata una delle più belle del mondo classico.

Eppure, il piccolo Gauss riusciva a trovare 10, e anche 100, e anche 1000, …, numeri consecutivi nessuno dei quali fosse primo. Quindi sapeva che i numeri primi sono infiniti, ma ci sono intervalli enormi e di dimensioni sempre più grandi privi di numeri primi. È naturale, quindi, chiedersi come diavolo siano messi, questi benedetti numeri primi. Ebbene, pare che Gauss avesse solo 14 anni, quando enunciò sulla loro distribuzione una famosa congettura che è stata dimostrata solo un centinaio di anni dopo, circa quaranta dopo la sua morte e il risultato è noto come il “Teorema dei numeri primi”.

A 17 anni Gauss determinò tutti i numeri n per i quali era possibile suddividere, con riga e compasso, una circonferenza in n parti uguali, un teorema dal quale si deduce, per esempio, che non è possibile suddividere la circonferenza, con riga e compasso, in 7 parti uguali, ma lo è in 17.
Era naturale che la tesi di laurea di un personaggio del genere dovesse contenere risultati eclatanti. E infatti essa conteneva, fra l’altro, quello che è passato alla storia come il “Teorema fondamentale dell’Algebra”.

Di fronte a tanto successo, gli scienziati del tempo, forse con un segreto senso di sfida, gli affidarono il problema del quale abbiamo parlato la volta scorsa: il ritrovamento del pianeta Cerere, scoperto a Palermo da Giuseppe Piazzi e poi perduto. Il giovane Gauss si fece dare i dati raccolti dal Piazzi, meditò un poco, e indicò la notte e la parte del cielo nel quale il pianeta sarebbe stato ritrovato, cosa che puntualmente avvenne, suscitando lo stupore di tutti.

In seguito a questo successo strepitoso, Gauss fu nominato direttore del nuovo osservatorio astronomico di Gottinga, ancora in fase di progettazione. Egli mantenne questa carica per tutta la vita, svolgendo a Gottinga la grande parte della sua immensa ricerca ed avendo intensi rapporti scientifici con tutti i maggiori scienziati del suo tempo, e avendo anche allievi molto importanti, ma rifiutando sempre incarichi accademici.

Sono stati qui citati solo alcuni risultati giovanili di Gauss, che nella sua lunga vita scientifica dette contributi decisivi in molti rami del sapere scientifico, acquisendo una autorevolezza assoluta nel suo tempo.
Vedremo la prossima volta che un altro grandissimo e giovanissimo matematico, sapendo che molto probabilmente l’indomani sarebbe morto (come infatti avvenne, e non aveva nemmeno venti anni e mezzo) e non avendo il tempo di fornire tutte le dimostrazioni dei risultati raggiunti, scrisse l’elenco dei principali di essi in una famosa lettera che inviò a un suo amico raccomandandogli di farne valutare l’importanza proprio a Gauss.

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